제5장 도체와 유전체

전류(current): 매질의 단면을 단위시간당 통과하는 전하량

　　 : 단위 = C/s = A

전류밀도(current density):

　　 : 체적전류밀도(volume current density), 단위 =

　　 : 전류가 흐르는 방향에 수직인 극소 면적

　　 : 의 면적으로 흐르는 전류

　　 : 전류가 흐르는 방향

　　

　　 : 표면 전류밀도(surface current density), 단위 =

　　

　　

전류밀도와 전하의 이동속도와의 관계:

균일한 전류밀도를 가지는 체적 가 전류를 동안 만큼 이동하였다면 단면 를 통과한 전류 는

　　

　　

　　 　

　　 :　 체적 전하밀도

　　 :　 전하의 이동속도

　　

전류의 연속성(continuity of current):

한 점에서의 전류밀도의 발산은 체적 전하밀도의 시간에 따른 감소율과 같다.

　　

　　

　　 : 전류연속 방정식(continuity equation)

　　 : 체적 전하밀도(C/m³)

　　

키르히호프의 전류법칙:

직류전류가 흐를 경우 이며 따라서

　

　　

　　

　　

자유전자(free electron):

도체에서는 원자 핵 주위의 궤도를 돌고 있는 전자가 쉽게 궤도를이탈하여 자유롭게 이동할 수 있다.

도체에서의 자유전자 밀도()

　　 구리:

　　 알루미늄:

에너지 밴드 구조:

- valence band: 원자 핵 주위를 공전하는 전자 중에서 에너지 준위가 가장 높은 최외각 전자의 에너지 대역

- conduction band: 외부에서 인가된 전기장에 의해 이동할 수 있는 자유전자의 에너지 대역　

-　 에너지 밴드: 주어진 물질에서 에너지 레벨에 따른 전자의 수는 확률함수로 주어지며 valence band와 conduction band와 같이 전자가 가질 수 있는 에너지 범위를 에너지 밴드라 한다.

- 에너지 갭: valence band 최상 레벨과 conduction band 최하 레벨 사이의 에너지 차이

- 물질에 따른 에너지 갭: 금속은 에너지 갭이 0이다. 절연체는 에너지 갭이 크다. 반도체는 에너지 갭이 중간 정도이다.

　　

도체에서의 전자의 이동속도:

- 페르미 속도(Fermi speed): 도체 내부에서 자유전자가 불규칙하게 운동하는 속도. 구리의 경우 1.57 x 10⁶ m/s

- 평균 자유경로(mean free path): 자유전자가 다른 전자와 충돌하지 않고　 이동하는 평균 경로 길이

　　 (구리)

- 이동속도(drift velocity): 도체에 전기장을 인가하면 도체내의 자유전자가 정전기력 를 받아 전기장의 반대방향으로 이동한다. 이동하는 자유전자는 다른 전자와 수없이 충돌하면서 평균적으로 일정한 속도로 이동하게 된다. 이 일정한 속도를 이동속도라 한다. 이동속도는 인가한 전기장 세기에 비례한다. 비례상수를 이동도(mobility)라 한다. 즉,

　　

　　 : 전자의 이동속도,　 : 전자의 이동도(mobility),　 : 자유전자의 밀도, : 전자의 전하량

　　 (예) 직경 1mm, 길이 1m의 구리선에 1V를 인가할 경우 저항은 0.0216 Ω이 되고 전류밀도는 이 된다. 이 때 전자의 이동속도는 4.3 mm/s가 된다.

옴의 법칙(Ohm's Law):

저항성 물질(ohmic material): 물체에 전압을 인가할 경우 흐르는 전류가 전압에 비례하는 물질.

　　

　　

　　

　　

　　

　　

확산시간(relaxation time):

　　 초기에 도체에 주입된 체적전하는 빠른 속도로 도체의 표면으로 이동하여 최종적으로 체적 전하 밀도는 0이 된다. 주입된 전하(excess charge)는 모두 표면에 분포하게 된다.

　　

　　

　　

　　 :　 확산시간

(예)

Joule의 법칙:

전기장 가 전하 를 만큼 이동시킬 경우 한 일:　

　　

전하농도가 단위체적당 일 경우 체적　 에 걸쳐서 전기장 가 한 일:

　　

전력

　　

그러므로

　　

단면이 로 일정하고 길이가 전류가 흐르는 방향으로 인 도체의 경우

　　

전하 를 전위차 사이를 이동시킬 경우　 한 일은

　　

전류를 계속 흐르게 하기 위해 외부에서 전력 를 인가해 주어야 한다.

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

완전도체(전도도가 무한히 튼 물질)의 정전기적 특성:

　　 1) 완전도체 내의 전기장 세기 는 0이다.

　　 2) 완전도체 표면와 내부는 모두 동일한 전위를 갖는다.

　　 3) 완전도체 내부에 전하밀도는 0이며 전하는 완전도체 표면에만 존재한다.

완전도체 표면에서의 전기장의 특성(=경계조건):

　　

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

전기영상법(method of images):

무한 도체가 있을 경우 전하에 의한 전기장을 구하는 방법

1) 무한 도체평판 위에 놓인 점전하 에 의한 전기장 세기를 구하기 위해 무한 도체 평판을 제거하고 대칭적 위치에 점전하 (영상전하)를 두고 이 두 전하에 의한 전기장 세기를 구하면 된다.

　　

2) 오른쪽의 경우 인 영역에서 왼쪽의 경우와 동일한 전기장 세기 를 얻는다. 　　　　　　　　　

3) 오른쪽의 경우 도체평판 위에서 의 조건과 의 조건을 만족한다.

(예제)　 90°금속 코너에 있는 전하에 대해 전기영상법을 적용해 보라.

반도체에서의 전하 운반체:

- 전자: 열에너지에 의해 valence band에 있던 전자가 conduction band로 이동하여 외부 전기장에　 의해 쉽게 이동할 수 있게 됨.

- 전공(hole): valence band에 있던 전자가 남기고 간 자리를 다른 전자가 채움으로써 궁극적으로　 (+) 　　 전하가 이동하는 것처럼 나타남.

- 자유전자 밀도:

반도체의 종류:

순수(intrinsic) 반도체: Si 또는 Ge 같은 순수 반도체 물질.

불순물이 첨가된(doped) 반도체: 순수 반도체 원자와 valence band의 전자를 공유할 때 전자가 1개 남는 물질(donor 물질) 또는 전자가 1개 모자라는 물질(acceptor 물질)을 첨가하면 전도도가 현격하게(예 10⁵ 배) 증가됨.

반도체의 전도도:

　　 : electron과 hole에 의한 전도도의 합.

유전체의 분극(polarization in dielectrics):

　　 : 다이폴 모멘트

　　 : 분극(밀도)

　　 자유전자 밀도:

　　

분극밀도와 전하밀도:

　　

　　

　　

분극과 전기장 세기:

　　

　　 :　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 총 체적 전하밀도

　　 : 자유 전하밀도

　　 :　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 분극 전하밀도

　　

　　

　　

　　 : 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 electric susceptibility　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 :　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 비유전율(=유전상수)

　　 :　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 유전율

유전체 경계면에서의 경계조건(boundary conditions):

　　 　　 →　

　　 　　 →　

　　

　　

정전용량(capacitance):

　　 두 개의 도체에 전위차 를 인가하면 (-)극에 있는 전자가 (+)으로 이동하여 (+)극에는 총전하량 이 존재하고 (-)극에는 총전하량 이 존재한다.

　　 　(정전용량)

　　 정전용량의 단위 =　 F = farad

　　 커패시터: 정전하를 저장하는 장치

　　

정전용량의 계산:

　　

커패시터에 저장된 에너지:

　　

평행도체판의 정전용량:

　　 :　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 도체판의 면전하밀도

　　

　　

　　

　　

　　

동축선의 정전용량:

　　

　　

동심구의 정전용량:

　　

　　

두 개의 유전체 적층된 평행도체판의 정전용량:

　　

　　

평행도체선의 정전용량: