전자기학 I 시험 2번 해답

1. 구면상의 점 에서 는 일정하며 r만 증가하는 방향의 극소 면벡터 dS의 표현식을 제시하라.

(해답)

2. 진공에서 반경 a인 구가 균일한 전하밀도 로 대전되어 있다. 임의의 점 에서 1) E(V/m)와 2) (단, )를 구하라.

(해답)

1) 가우스 법칙 적용:

2) 맥스웰 제 1 방정식 적용: (구면 이외에는 전하가 없으므로)

3. 로 주어질 경우 을 구하라.

(해답)

매개변수를 이용한 미분 방법을 알아야 이 문제를 풀 수 있다.

매개변수 미분공식:

4. 전계강도가 (V/m)로 주어질 경우 두 점 P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂) 사이의 전위차 V₂₁ (V)를 구하라.

(해답)

선적분 방법을 알야야 이 문제를 풀 수 있다.

5. 균일한 전류밀도 (C/m)로 대전된 x 축 상의 무한 선전하에 의한 점 (x, y, z)에서의 전계강도 E(V/m)를 구하라. 단, 이다.

(해답)

좌표계를 자유롭게 이용할 수 있어야 이 문제를 풀 수 있다. 무한선전하가 z 축에 있을 경우 전계강도 공식은 이다.

여기서 는 무한 선전하에서부터 관측점까지의 거리(수직거리) 는 무한 선전하에서 관측점으로 향하는(무한 선전하에서 수직이며) 단위벡터이다. 이번에는 무한 선전하가 x 축에 있을 경우 아래 그림을 이용하여 쉽게 위 공식을 적용할 수 있다. 무한 선전하로부터 관측점으로 향하는 거리벡터는 이므로

6. 전속밀도가 로 주어질 경우 전 공간에서 전하밀도 (C/m³)를 구하라. 직각좌표계를 이용하라.

(해답)

발산공식과 미분기법을 알아야 이 문제를 풀 수 있다.

7. 전위함수가 로 주어질 경우 전계강도 E (V/m)를 구하라. 직각좌표계를 이용하라.

(해답)

전위함수로부터 전기장을 구하는 공식과 미분기법을 알아야 이 문제를 풀 수 있다.

또는

8. xy 평면과 yz 평면이 1 (C/m²) 전하밀도로 균일하게 되전되어 있다. 점 에서의 전계강도 E (V/m)를 구하라.

(해답)

좌표계를 자유롭게 이용할 수 있어야 한다. 무한 평면하가 아래 그림과 같이 밀도

으로 무한평면에 분포되어 있을 때 전계강도는 다음 식과 같다. 여기서 은 무한평면에서 관측점으로 향하는 단위벡터이다.

xy 평면 상에 1 (C/m²) 전하밀도로 대전된 전하에 의한 점 에서의 전계강도 E (V/m): 방향

yz 평면 상에 1 (C/m²) 전하밀도로 대전된 전하에 의한 점 에서의 전계강도 E (V/m): 방향

따라서 총 전계강도는 다음과 같다.

9. 발산(divergence)의 개념(정의)을 그림을 그려서 설명하라.

(해답)

아래 그림과 같이 공간 상의 극소체적 의 표면을 S라 할 때 벡터장 D의 발산 은 극소체적 의 표면 S를 통과하여 안에서 밖으로 나가는 D 성분의 총합 를 극소체적 로 나눈 값이다. 이 때 가 0이 되게 하여 극한값을 취하면 그 점에서의 발산 을 구할 수 있다. 즉,

10. 아래 그림은 xy 평면 상에서 정의된 전위함수 V(x,y)를 도시한 것이다.

1) 전계강도 E가 0인 점의 좌표는?

(해답)

로 주어진다. 아래 그림에 주어진 V(x,y)에 있어서 인 점은 이다.

2) (x, y) = (5, 0)에서 E의 방향을 벡터로 표시하라.

(해답)

주어진 점에서 E의 방향은 그 점에서 전위함수 V(x,y)가 가장 빠르게 감소하는 방향이다. 따라서 아래 그림으로부터 (x, y) = (5, 0)에서 E의 방향은 양의 x 축 방향 즉, 이다.

11. 점 에 위치하는 점 전하 Q (C)가 있다. 점 에서의 전위 V를 구하라.

(해답)

점전하에 의한 전위의 기본 공식은 이다. 여기서 r은 점전하에서 관측점 까지의 거리이다. 따라서

이다.

12. 다음 방정식(공식)을 쓰시오.

1) 포싼 방정식

(해답)

2) 러플라스 방정식

(해답)

3) 구좌표계에서

(해답)

14. z = z₁ 평면이 V₁ (V)으로 대전되고 z = z₂인 평면이 V₂ (V) 대전되어 있다. 러플러스 방정식을 이용하여 에서 1) 전위함수 V(z) (V)와 2) 전계강도 E (V/m)를 구하라.

1) (해답)

문제로부터 전위함수는 x 좌표와 y 좌표의 함수가 아님을 알 수 있다.

경계조건으로부터 상수 A, B를 구한다.

위 식으로부터

그러므로

2) (해답)